机械制图教程-(4.5)轴测图

    常用的工程图样是多面正投影图，多面正投影具有作图简便、度量性好等优点。如图4-24（a）。但这种图样缺乏立体感，必须具有一定的图学知识才能看懂。为此，工程上还常用一种富有立体感的投影图来表达物体，以弥补多面投影图的不足。这种单面投影图称为轴测图。

    如图4-24 （b）（c）所示，轴测图能同时反映物体长、宽、高三个方向的尺度，富有立体感，因此，在工程上常用来作为辅助图样。但这种方法不能真实反映形体的尺寸与形状。

图4-24多面正投影图与轴测图

4.5.1 轴测图的基本知识

4.5.1.1 轴测图的形成和投影特性

    如图4-25所示，轴测图（GB/T 16948-1997）是将物体连同其参考直角坐标系，沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在单一投影面P上所得的图形。

图4-25轴测图的形成

    在轴测投影中，投影面P称为轴测投影面，投射方向S称为轴测投射方向。

    由于轴测图是用平行投影法得到的，因此具有下列投影特性：

（1）平行性：物体上互相平行的线段，在轴测图上仍然互相平行。

（2）定比性：物体上两平行线段或同一直线上的两线段长之比，在轴测图上保持不变。

4.5.2 轴测轴、轴间角及轴向伸缩系数

    轴测轴：空间直角坐标轴OX、OY、OZ在轴测投影面上的投影O1X1、O1Y1、O1Z1。

    轴间角：相邻两轴测轴之间的夹角，即角∠X1O1Y1 、∠X1O1Z1、∠Y1O1Z1。

    轴向伸缩系数：轴测轴上单位长度与相应空间直角坐标轴上单位长度之比。

    X、Y、Z轴的轴向伸缩系数分别用p、q、r表示， p=O1C1/OC，q=O1G1/OG，r=O1H1/OH，见图4-25。

4.5.3轴测图的分类

    根据投射方向与轴测投影面是否垂直，可将轴测图分为两类。

4.5.3.1正轴测图

    投射方向与轴测投影面垂直，即用正投影法得到的轴测图，如图4-25（b）。

4.5.3.2斜轴测图

    投射方向与轴测投影面倾斜，即用斜投影法得到的轴测图，如图4-25（c）。

    在上述两类轴测图中，根据轴向伸缩系数的不同，每类又可分三种。

（1）正（或斜）等轴测图：三个轴向伸缩系数都相等的轴测图，即p=q=r。

（2）正（或斜）二轴测图： 有两个轴向伸缩系数相等的轴测图，即 p=q≠r，或p=r≠q，或p≠r=q。

（3）正（或斜）三轴测图：三个轴向伸缩系数均不相等的轴测图，即p≠r≠q。

    在工程上用得较多的是正等轴测图和斜二轴测图，本章主要介绍正等轴测图和斜二轴测图的画法。

图4-26正等轴测图的

4.5.2  正等轴测图的画法

4.5.2.1 轴间角和轴向伸缩系数

    如图4-26所示，正等轴测图的三个轴间角相等，均为120°，规定Z轴是铅垂方向，根据理论计算，其轴向伸缩系数p=q=r≈0.82，为了作图简便，采用p=q=r=1，这样沿轴向的尺寸就可以直接量取物体实长，但画出的正等轴测图比原投影放大1/0.82≈1.22倍。

4.5.2.2 平面立体的正等轴测图的画法  

    画轴测图的基本方法是坐标法。所谓坐标法就是根据立体表面上每个顶点的坐标，画出它们的轴测投影，然后连成立体表面的轮廓线，从而获得立体轴测投影的方法。

    下面举例说明坐标法画正等轴测图的方法。

例4.1 如图4-27所示，已知正六棱柱的主、俯视图，求作其正等轴测图。轴间角和轴向伸缩系数

解（1）在两视图上确定直角坐标系，坐标原点取为顶面的中心（见图4-27）。

（2）画轴测轴，分别在X1、Y1方向量取长度A、B，再利用平行性及六边形边长作出顶面的轴测投影（见图4-28（a）（b））。

（3）根据高度在Z1方向截取H，作出底面各点轴测投影（见图4-28（c））。

（4）连接边长与棱线，擦去作图线，即完成正六棱柱的正等轴测图(见图4-28（d）)。

图4-27正六棱柱的视图         

图4-28作正六棱柱的正等轴测图

    轴测图的主要画法有切割法和叠加法。

    切割法是对于某些以切割为主的立体，可先画出其切割前的完整形体，再按形体形成的过程逐一切割而得到立体轴测图的方法。

    叠加法是对于某些以叠加为主的立体，可按形体形成的过程逐一叠加从而得到立体轴测图的方法。

    实际上，大多数立体既有切割又有叠加，在具体作图时切割法和叠加法总是交叉使用。

例4.2  根据视图（如图4-29(a)所示），作出立体的正等轴测图。

解  (1) 切割法：先画长方体，然后逐步切割形体作图，如图4-29 （b）~（e）所示步骤。

图4-29切割法作正等轴测图

(2) 叠加法：先画长方体底板，再加立板，然后加上三角形斜块，如图4-30所示步骤。

图4-30叠加法作正等轴测图

4.5.2.3 回转体的正等轴测图

    作回转体的正等轴测图，关键在于画出立体表面上圆的轴测投影。

4.5.2.3.1平行于坐标面圆的正等轴测投影

    圆的正等轴测投影为椭圆，该椭圆常采用菱形法近似画法，即用四段圆弧近似代替椭圆弧，不论圆平行于哪个投影面，其轴测投影的画法均相同，图4-31表示直径为d的水平圆正等轴测投影的画法。    作图步骤如下：

（1）先确定原点与坐标轴，并作圆的外切正方形，切点为a、b、c、d，如图4-31（a）所示。

（2）作轴测轴和切点a1、b1、c1、d1，通过切点作外切正方形的轴测投影，即得菱形。菱形的对角线即为椭圆长、短轴的位置，如图4-31（b）。

（3）过a1、b1、c1、d1作各边垂直线，连接O3b1、O3c1与长轴相交，得圆心O2、O4，如图4-31（c）所示。

（4）以O1、O3为圆心，O1a1为半径，作圆弧a1d1、c1b1；以O2、O4为圆心，O2a1为半径，作圆弧a1b1、c1d1，连成近似椭圆，如图4-31（d）所示。

图4-31菱形法的近似椭圆画法

 图4-32画出了平行于三个坐标面上圆的正等轴测图，它们都可用菱形法画出。只是椭圆的长、短轴的方向不同，并且三个椭圆的长轴构成等边三角形。      

4.5.2.3.2 回转体的正等轴测图的画法

    画回转体的正等轴测图，只要先画出底面和顶面圆的正等轴测图——椭圆，然后作出两椭圆的公切线即可。

例4.3 如图4-33（a）所示，已知切割圆柱的主、俯视图，作出其正等轴测图。                    

解（1）选坐标系，原点选定为顶圆的圆心，XOY坐标面与上顶圆重合如图4-33（a）所示。

图4-33切割圆柱的正等轴测图画法

（2）用菱形法画出顶圆的轴测投影——椭圆，将该椭圆沿Z轴向下平移H，即得底圆的轴测投影；将半个椭圆沿Z轴向下平移H/2，即得切口的轴测投影，如图4-33（b）（c）所示。

（3）作椭圆的公切线、截交线，擦去不可见部分，加深后即完成作图，如图4-33（d）所示。

4.5.2.3.3 圆角的正等轴测图的画法

    立体上1/4圆角在正等轴测图是1/4椭圆弧，可用近似画法作出，如图4-34所示。作图时根据已知圆角半径R，找出切点A1、B1、C1、D1，过切点分别作圆角邻边的垂线，两垂线的交点即为圆心，以此圆心到切点的距离为半径画圆弧即得圆角的正等轴测图。底面圆角可将顶面圆弧下移H即得，如图4-34（b）（c）所示。

4.2.4组合体正等轴测图画法

    例4.4 画出如图4-35所示的直角支板的正等轴测图。       

解（1）在投影图上定出直角坐标系。

（2）画底板和侧板的正等轴测图，如图4-36（a）所示。

（3）画底板圆角、侧板上圆孔及上半圆柱面的正等轴测图，如图4-36（b）所示。

（4）画底板圆孔和中间肋板的正等轴测图，如图4-36（c）所示。

图4-34  1/4圆角的正等轴测图

（5）整理并加深即完成全图，如图4-36（d）所示。